geld

De misrekenende rechter

Erica Verdegaal | 23 mei 2009 om 18:31

tags:: aandelenlease, beleggen, woekerpolis

Aandelenlease-gedupeerden staan april vorig jaar te wachten op het openen van deuren van de informatiedag van Platform Aandelen Lease en Leaseproces. Foto Rob Huibers

De doorsnee mens loopt weg voor cijfers, wiskunde en statistiek. Ons land telt zelfs honderdduizenden cijferblinden. Dat zijn normaal intelligente mensen die, door een hersendefect, cijfers en telwoorden niet kunnen interpreteren. Ze verwarren 91 met 19 en kunnen geen wisselgeld natellen. Een beleggingsaanbieding beoordelen is voor hen even onmogelijk als machtsverheffen voor een baby.

In een land van blinden en bijzienden zijn de eenogen koning. Dat waren, tussen 1991 en 2002 de pakweg tien instellingen die samen een miljoen aandelenleaseproducten verkochten. Deze combinaties van beleggen en lenen leken aanvankelijk fantastisch.

Wie maandelijks 155 gulden stortte, kon, volgens de folder, na vijftien jaar bijvoorbeeld 172.000 gulden incasseren. „Vier keer zoveel als bij sparen!” Na 2001 sloegen deze gouden bergen, mede door een beursdip, vaak om in schulden. De schade beliep soms wel 100.000 euro per belegger.

Een uitzending van Radar over aandelenlease (3 oktober 2007)

Slepende rechtszaken

Sindsdien slepen er rechtszaken over aandelenlease. Op 5 juni aanstaande bereikt dit drama een climax: voor het eerst zal de Hoge Raad beoordelen of leaseaanbieders hebben misleid of de zorgplicht hebben geschonden. Krijgen gedupeerden eindelijk gelijk? Je houdt je hart vast als je de wetenschappelijke bundel De rekenende rechter leest. Universitair docent M.J. Borgers schrijft hierin onheilspellend:

„Rechters worden in toenemende mate geconfronteerd met cijfermatige kwesties waar ze in het gunstigste geval iets van afweten, maar vaak ook niets.”

Hoe zwaar je met rendementsvoorspellingen de mist in kan gaan, toont de Amerikaanse wiskundehoogleraar John Allen Paulos in zijn boek De gecijferde mens. Een vader koopt beursaandeel Z voor 1.000 euro. Zijn nazaten mogen Z na een eeuw verkopen. Uit het verleden weet vader dat Z jaarlijks evenveel kans heeft op 60 procent koerswinst als op 40 procent koersdaling. Wat is de meest waarschijnlijke waarde over honderd jaar?

Rekensom

Aanbieders van lease- en andere beleggingsproducten pakken deze rekensom steevast zo aan. Eerst becijfert men de verwachte koersstijging in één jaar. Voor Z is dat het gemiddelde van +60 procent en -40 procent. Dus 10 procent. Deze 10 procent projecteert men op de komende eeuw. En als je jaarlijks 10 procent winst boekt, groeit 1.000 euro na een eeuw tot het astronomische bedrag van 13.780.612 euro.

Deze berekening is fout. In het meest waarschijnlijke geval zal aandeel Z namelijk vijftig van de honderd jaren 60 procent stijgen en vijftig van de honderd jaren 40 procent dalen. Dat brengt de meest waarschijnlijke eindwaarde, in dit geval, op €1.000 × (1,6 ^ 50) × ( 0,6 ^ 50 ). En dat is helaas… maar 130 euro. Juist verzekeraars, vaak de verkopers van aandelenleaseplannen, begrijpen dit als geen ander. Hun verzekeringswiskundigen schatten immers voortdurend de uitkeringen die men in de toekomst moet gaan doen? Dus rechter en consument, laat je niet misleiden.

Kennis van de volgende drie maatstaven is handig.

1. Rekenkundig gemiddelde

Het (rekenkundig) gemiddelde van een reeks cijfers is de som van die cijfers gedeeld door het aantal getallen. Deze maatstaf is geschikt voor het berekenen van gemiddelde jaarlijkse rendementen uit het verleden, maar zegt helemaal niets over de toekomst.

2. Modus

De modus is een getal of bedrag dat het vaakste voorkomt. De term modaal inkomen is daarom de inkomenshoogte die het meeste voorkomt. Dit jaar is dat, inclusief vakantietoeslag, ongeveer 32.000 euro. Het modale inkomen kan veelzeggender zijn dan het gemiddelde salaris. Want stel 100 mensen verdienen elk 300 euro en 3 mensen elk 3 miljoen euro. Dan verdient men gemiddeld 87.669 euro, terwijl het modale inkomen op 300 euro ligt.

3. Verwachte waarde

De verwachte waarde van iets wordt vaak bepaald door de som te nemen van elke mogelijke uitkomst vermenigvuldigd met de kans op die uitkomst. Stel een verzekeraar weet uit ervaring dat jaarlijks een op de 10.000 verzekerden 400.000 euro schade claimt, een op de 1.000 claimt 50.000 euro, en een op de vijftig claimt 2.000 euro. De verwachte schade-uitkering bedraagt dan: (400.000: 10.000) + (50.000: 1.000) + (2.000: 50) = 130 euro.

67 reacties

In het rekenvoorbeeld ontleend aan John Allen Paulos is klaarblijkelijk een fout geslopen. Volgens dit voorbeeld blijft er na 100 jaar een bedrag van slechts 130 euro over van de oorspronkelijke 1000..
Volgens het gezond verstand kan dit natuurlijk niet als de kans op een rendement van 60% per jaar even groot is als de kans op een verlies van 40% per jaar. Uit de in het artikel weergegeven formule volgt trouwens een eindbedrag van 2.4 miljoen euro, hetgeen ook niet juist is.
Juist is echter het bedrag dat door verzekeringsmaatschappijen wordt opgegeven. Dit is eenvoudig in te zien door de eindwaarde uit te rekenen voor de eerste 3 jaar aan de hand van een boomstructuur voor mogelijke uitkomsten die verloopt volgens de binomiaalformule van Newton:
Verwachtingswaarde jaar 1: 1000*[1.6 + 0.6]/2 = 1100
Verwachtingswaarde jaar 2: 1000*[(1.6*1.6 + 1.6*0.6 + 0.6*1.6 + 0.6*0.6)]/4=1210 (na 2 jaar 4 mogelijke uitkomsten ieder met kans 1/4)
Verwachtingswaarde jaar 3: 1000*[1.6*1.6*1.6 + 3*1.6*1.6*0.6 + 3*1.6*0.6*0.6 + 0.6*0.6*0.6)]/8=1331 (na 3 jaar 8 mogelijke uitkomsten ieder met kans 1/8)
En zo verder.
De verzekeraars die 10% rendement per jaar berekenen komen tot het volgende resultaat: 1.1 tot de macht 3 is 1.331, zodat het verwachte eindkapitaal na 3 jaar inderdaad 1331 euro bedraagt.
Hoewel banken en verzekeraars graag misbruik maken van de ongecijferdheid van velen, hebben ze in dit geval wel een keer gelijk.

Robert Endert op 23 May 2009 om 20:39 Antwoord

Ik weet héél erg zeker dat ca 95% van rechters de niet de ballen verstand van financiën in deze dus volstrekt niet in staat tot oordelen. Ze zullen hun gebruikelijke arrogantie moeten overwinnen en volledig blindvaren op het oordeel van financieel deskundigen, accountants en of verzekeringswiskundigen ea financiële rekenaars, met alle risico’s van dien.

P.Dias op 23 May 2009 om 21:09 Antwoord

Helaas Robert, die 130 euro is inderdaad de juiste uitkomst als totaalbedrag.
Het is om precies te zijn 129,89 euro.
Er zit echt geen fout in die berekening, neem voor de aardigheid eens de moeite om hem uit te werken in een simpel excel blad.
In welke volgorde je de winst en verlies percentages ook zet, de uitkomst blijft hetzelfde.
Dus +60% het ene jaar, en -40 het daaropvolgende jaar, en dat 100 jaar lang, geeft echt een gegarandeerd verlies van 870 euro. Welke volgorde je ook kiest.
Overigens toont dit al aan dat getallen voor de meeste mensen abracadabra zijn.
Statistieken zijn overigens geen juiste manier om winsten te berekenen, er is altijd wel een rekenmethode te vinden die iemand gelijk geeft. Als je maar de informatie gebruikt die jou het beste past.

T vd Werf op 23 May 2009 om 21:18 Antwoord

uit bovenstaande reacties blijkt hoe moelijk het is om een reeel beeld te krijgen van een financieel “product”.
ik houd mijn hart vast hoe dit uit zal pakken i.z. de aandelenlease affaire, waar onwetendheid de basis was van het ( laakbare) succes van de gewraakte overeenkomsten.

e van ditmarsch op 23 May 2009 om 21:58 Antwoord

Even ter verduidelijking over de verwachte waarde;
De verwachte gemiddelde schade-uitkering PER VERZEKERDE bedraagt dan: (400.000: 10.000) + (50.000: 1.000) + (2.000: 50) = 130 euro
De verwachte gemiddelde schade-claim ligt uiteraard hoger (6161 euro)

R.J. Koopman op 23 May 2009 om 22:53 Antwoord

Mevrouw Verdegaal illustreert haar betoog dat de meeste mensen niet veel begrijpen van cijfers, wiskunde en statistiek op charmante wijze door een voorbeeld van een Amerikaanse wiskundige weer te geven dat zij zelf niet helemaal begrijpt.
In het voorbeeld dat zij geeft wordt het kapitaal van 1000 als het ware 100 keer achter elkaar ingezet in een weddenschap met een kans van een 1/2 op 60% winst en een kans van 1/2 op 40% verlies. De verwacht opbrengst per keer is dus 110% van de inzet. De VERWACHTE waarde van het kapitaal na honderd jaar is dan inderdaad 1,1^100 (1,1 tot de macht 100) en dat is een heel groot bedrag. Je kunt dat inzien door het proces voor een aantal jaren door te rekenen zoals Robert Enders doet, of je kunt de produktregel voor verwachtingen toepassen.
Toch is er inderdaad iets aan de hand, wat je al na twee jaar kunt zien: dan zijn er 4 mogenlijke uitkomtsen met elk een kans van 1/4: winst-winst (2560), winst-verlies (960), verlies-winst (960) en verlies-verlies (360). Hoewel de verwacht opbrengst (1210) groter is dan de inzet (1000), is de meest waarschijnliijke uitkomst dat je na twee jaar met 960 op verlies staat. Alleen ‘is de meest waarschijlijke uitkomst’ iets heel anders dan de ‘verwachte uitkomst’, en bovendien, volgens mij, compleet irrelevant voor het beoordelen van een weddenschap; wat mij wel van belang lijkt is de observatie dat de kans dat je na twee jaar op winst staat maar 1/4 is, en de kans dat je op verlies staat 3/4. Het zou best kunnen dat je na 100 keer een kleine kans hebt op een enorm fortuin en een grote kans dat je het grootste deel van de inzet (1000) kwijt bent. Dan zou het een voorbeeld zijn van een gunstige (verwachte opbrengst groter dan inzet) maar toch riskante weddenschap.

Ton Timman op 24 May 2009 om 08:10 Antwoord

In de tekst (ook in NRC Weekblad) waren de termen (1,6 tot de vijftigste) en (0,6 tot de vijftigste) onduidelijk weergegeven. In woorden uitgedrukt had er moeten staan: “Dat brengt de verwachte eindwaarde, in dit geval, op €1000 x (1,6 tot de 50e) x (0,6 tot de 50e). En dat is helaas…. maar €130.”

Erica Verdegaal op 24 May 2009 om 09:28 Antwoord

Maar hoe lang gaat dit nog duren? Denk dat eenieder die door deze boeven om de tuin is geleid, wat voor een som ze ook hebben gebruikt, het volledige bedrag terug krijgen. Maar dit is niet het geval. Ze ontkennen nog steeds terwijl er bewijzen zat zijn. Wat gaat er met al die DSB zaken gebeuren? Ze blijven maar liegen terwijl er bewijzen zat zijn!

Twist op 24 May 2009 om 10:53 Antwoord

Ton, Mevrouw Verdegaal baseert zich op een andere aanname, dan de “adviseurs” doen, en in de andere reacties, zijn bij de berekeningen ook andere aannames gebruikt.

Wiskundig gezien is het verschil tussen jouw berekening, en de hare, slechts de plaats van de (haakjes). Zij doet per jaar het resultaat van 160 tegen 60 %, en jij deelt beide getallen door 2, om ze dan weer bij elkaar op te tellen. Optellingen komen in haar voorspellende formule niet voor. En: De juiste formule bestaat niet.

Ook met het gebruik van statistieken om een “voorspelling” te doen, is het regeltje “iedere ketter heeft zijn letter” van toepassing.

Het probleem van de beleggingsslachtoffers, is juist dat ze de aanname van de adviseur als feit begrepen hebben. En er zit een behoorlijk verschil tussen een aanname en een feit. Een aanname doe je vooraf, gebaseerd op ervaringen uit het kortere of langere verleden. Een feit is het echte resultaat.

Voor velen met een beleggingshypotheek is er wel een feit: na afloop is er een grotere schuld over, dan men vooraf aangenomen heeft.

T vd Werf op 24 May 2009 om 11:21 Antwoord

@ T.v.d. Werf: nee, sorry: we hebben geen verschil in de aannames, maar in de uitwerking. Erica Verdegaal haalt verwachting en modus door elkaar, ook in haar reactie (#8).
Dat is jammer want het rekenvoorbeeld van John Allen Paulos is heel interessant.

We hebben allemaal wel de intuïtie dat beleggen riskant is op de korte termijn, maar dat op de lange termijn voor- en tegenspoed ‘sich ausgleichen’ en het hogere rendement (t.o.v. sparen) wint. De wet van de grote getallen enzo.
Ais iemand nu, op zijn dertigste in een aandelenpakket belegd, daar niet meer naar omkijkt tot zijn pensionering, verwachten wij eigenlijk dat hij daar dan achteraf geen spijt van zal hebben.

Dit eenvoudige rekenvoorbeeld van Paulos zet je daarom aan het denken. Door de listige keuze van de veronderstellingen en de parameters heb je Excel niet eens nodig om de pointe te zien. Het aantal winstjaren (van de honderd) is binomiaal verdeeld. De kans op winst en verlies is precies 1/2, waardoor deze verdeling symmetrisch is rond de modus 50. Met 50 winstjaren kom je echter op verlies uit: 1,6^50 x 0,6^50 = 0,96^50, en dat is kleiner dan 1.
Dat je bij de modale uitkomst op verlies zit, is nog niet de pointe, maar een tussenstap. Door de symmetrie is de kans dat je meer dan 50 winstjaren hebt precies gelijk aan de kans dat je minder winstjaren hebt. Daaruit kun je opmaken dat de kans dat je na die honderd jaar op winst staat kleiner is dan de kans dat je op verlies staat.

Prima rekenvoorbeeld!
Muchos kudos voor John Allen Paulos!

Ton Timman op 24 May 2009 om 12:49 Antwoord

Het voorbeeld van John Allen Paulos is in al zijn eenvoud werkelijk een beauty. In zijn boek waaraan dit voorbeeld van mevr. Verdegaal is ontleend (De Gecijferde mens, uit 1994) noemt hij het probleem ”een eigentijdse versie van de paradox van Sint Petersburg. Hij voegt aan zijn voorbeeld toe ”De wiskundig verwachte waarde is niet altijd de waarde die men verwacht”. De kern van het betoog van mevr. Verdegaal blijft m.i. kaarsrecht overeind; het beleggen met geleend geld (aandelenlease) tegen veelal een rente van tussen de 8 en 12% p.a. levert een vrijwel kansloos beleggingsproduct op. Rechters die dit niet (willen) inzien, hebben niet alleen een wiskundedeficientie, maar m.i. falen in hun taak (rechtspreken is immers een vorm van besliskunde).

nico weezenbeek op 24 May 2009 om 13:17 Antwoord

@Tv.d.Werf,
Wordt de geringe onderkenning van het verschil tussen ”aanname” en ”feit” ook niet een beetje in de hand gewerkt door de van overheidswege voorgeschreven slogan bij beleggingsproducten: ”in het verleden behaalde rendementen bieden geen garantie voor de toekomst” ? Het woord ”garantie” mag wat mij betreft worden vervangen door de term ”voorspelling”. Nu zullen vermoedelijk veel deelnemers aan beleggingsproducten denken, het (altijd gunstige) rekenvoorbeeld in deze folder van mijn bank is dan weliswaar geen garantie, maar het is blijkbaar wel een betouwbare voorspelling (anders zou mijn bank er toch niet mee komen). Zelfs die laatste aanname klopt dan niet. Kortom, de als waarschuwing bedoelde slogan schiet zijn doel voorbij.

nico weezenbeek op 24 May 2009 om 14:16 Antwoord

@Nico Weezenbeek. Dat lijkt mij een juiste en belangrijke conclusie. Er zou moeten staan: “In het verleden behaalde rendementen zeggen helemaal niets over de toekomst”

Erica Verdegaal op 24 May 2009 om 15:57 Antwoord

Hoewel het ongetwijfeld ooit bedoeld is als het meest voorkomende inkomen, is dat -althans in Nederland- niet meer zo.
Nu gebruikt men het begrip modaal inkomen als referentiepunt voor de bepaling van inkomenseffecten van maatregelen door de overheid. Het begrip is door het Nederlands Centraal Planbureau (CPB) gedefinieerd als een geprikt inkomensniveau, net onder de maximum premie-inkomensgrens voor de zorgverzekeringswet (ZVW). Het CPB gebruikt het begrip als referentiepunt in veel van zijn publicaties.

Kortom: zelfs een wiskundig begrip is niet altijd wat het lijkt.

Ruud van der Ham op 24 May 2009 om 18:00 Antwoord

Mevrouw Verdegaal,

U volgt de discussie maar gaat toch – heel voornaam – aan mijn opmerkingen over verwachting en modus voorbij.
In #7 stelt U: “Dat brengt de verwachte eindwaarde, in dit geval, op €1000 x (1,6 tot de 50e) x (0,6 tot de 50e). En dat is helaas…. maar €130.”

Wat U schrijft is klinkklare onzin.

Het is geen schande om te behoren tot de ‘de doorsnee mens die wegloopt voor cijfers, wiskunde en statistiek’, maar het is wel een beetje pedant om dan (i) deze rubriek te verzorgen, (ii) te spreken over de cijfermatige blinden en bijzienden en (iii) je zorgen te maken over de cijfermatige deskundigheid van rechters.

Nog iets. U schrijft over de cijferblinden: ‘Ze verwarren 91 met 19 en kunnen geen wisselgeld natellen. Een beleggingsaanbieding beoordelen is voor hen even onmogelijk als machtsverheffen voor een baby.’
Is het ooit bij u opgekomen, dat deze groep dat ook helemaal niet hoeft te doen? Het is/was helemaal niet nodig om aandelen te leasen en zo ‘winst te verdriedubbelen’. De grote meerderheid van de Nederlanders heeft dat dan ook niet gedaan. Niet op grond van superieur wiskundig inzicht, maar gewoon uit common sense, gezond wantrouwen tegen onwaarschijnlijk gunstige aanbiedingen, niet voetstoots geloven wat een verkoper je vertelt.

Ton Timman op 24 May 2009 om 18:58 Antwoord

beste Erica en anderen,

Doordat het begrip modus werd behandeld kwam een oude vraag weer bij me boven drijven:

Op de website van het centraal planbureau kwam ik erachter dat het modaal inkomen zoals het door het centraal planbureau wordt gehanteerd niet het meest voorkomende inkomen is, maar een bruto inkomen net onder de maximumpremie-inkomensgrens van de zorgverzekeringswet…

Volgens het CPB bedraagt dit bruto modaal inkomen voor 2007 30000 euro. Als ik echter bij het centraal bureau voor de statistiek het gemiddeld inkomen opzoek voor 2007 voor de personen met inkomen uit arbeid of onderneming kom ik op 32300.

Dit lijkt niet met elkaar te stroken, wie weet hoe dit zit? en wat is de bron (en dus definitie) van de de media gepubliceerde cijfers voor het modaal inkomen? Verder dacht ik altijd dat het gemiddelde erg gevoelig was voor uitschieters en dat het gemiddelde dus een stuk hoger zou moeten liggen dan het modaal inkomen, klopt dit?

met vr gr,
Pieter

Pieter op 24 May 2009 om 20:07 Antwoord

# 6 – Ton Timman op 24 May 2009 om 8:10 am
# 15 – Ton Timman op 24 May 2009 om 6:58 pm

Hij slaat de spijker op z’n kop met de opmerking:
… Alleen is ‘de meest waarschijnlijke uitkomst’ iets heel anders dan de ‘verwachte uitkomst’ …

Want namelijk:
als je een dobbelsteen maakt met op 4 kanten een 1, en op 2 kanten een 4, dan is:
- de meest waarschijnlijk uitkomst: 1
- de ‘verwachte uitkomst’ (1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4) / 6 = 12/6 = 2

Mevrouw Verdegaal berekende de ‘meest waarschijnlijke uitkomst’ in haar voorbeeld, niet de ‘verwachte uitkomst’.

Co Stuifbergen op 24 May 2009 om 22:05 Antwoord

Misschien moeten we een wet maken opdat sommige financiële producten alleen verkocht mogen worden aan mensen met een speciaal diploma.

Op die manier kan de overheid garanderen dat de koper ook begrijpt wat hij koopt.

Alleen de meest simpele producten (annuïteiten-hypotheek met vaste rente, ziektekostenverzekering met normale dekking) mogen dan verkocht worden aan mensen zonder een diploma “financiële productkennis” (om het maar een naam te geven).

Co Stuifbergen op 24 May 2009 om 22:10 Antwoord

@Pieter, Ruud van der Ham (reactie #14 zegt er iets over)

Erica Verdegaal op 25 May 2009 om 05:55 Antwoord

@coStuifbergen,
Het verlangen van een diploma bij de deelnemers aan beleggingsproducten is helemaal niet nodig. De wetgever heeft de verplichting om een ”wanprestatie” op het bord van de bank gelegd. Door middel van o.a.
1) het gebod om niet te misleiden;
2) zorgplichten in acht te nemen (door geen risicovolle producten aan mensen te verkopen die de risico’s niet onderkennen en/of kunnen dragen.
Dit lijkt me terecht want de bank is degene die aan de verkoop verdient. Dat bovenstaande regels door verkopende leasebanken aan de laars werd gelapt is blijkbaar straks te beoordelen door de Hoge Raad. Ik verbaas mij erover dat er 7 jaar geprocedeerd moet worden om misleiding en schending zorgplicht in rechte vastgesteld te krijgen. Vermoedelijk hebben die aandelenleasebanken de duurste advocaten van de Amsterdamse Zuidas ingehuurd om aan een veroordeling te ontkomen.

nico weezenbeek op 25 May 2009 om 07:26 Antwoord

In aanvulling op de reactie van Ton Timman heb ik uitgerekend wat de frequentieverdeling is van de opbrengst na 100 jaar.
Het blijkt dat u 10% kans heeft om meer dan EUR 46706 over te houden. Maar ook dat u 50% kans heeft om minder dan EUR 129 na 100 jaar te hebben!

Zoals anderen ook al hebben aangegeven is de verwachtingswaarde inderdaad EUR 13780612.
Maar, de kans op winst (>EUR 1000) is 30,9% en de kans op verlies (<EUR 1000) is 69,1%. Als je wint dan is de gemiddelde opbrengst EUR 44,6 miljoen. Bij verlies is de gemiddelde opbrengst maar EUR 161.

Het is maar de vraag hoe je hier als individu tegenaan kijkt.

Ruud van der Ham op 25 May 2009 om 08:01 Antwoord

@Nico Weezenbeek. Tot nu toe worden claims met betrekking tot het misleidende karakter van aandelenleasebrochures door rechters consequent afgewezen.

Erica Verdegaal op 25 May 2009 om 08:56 Antwoord

Het gebruikte voorbeeld door Erica Verdegaal leidt een beetje af van de kern van de zaak. Het voorbeeld, ontleend aan John Allen Paulos, betreft een gewone belegging in aandelen met een nogal onwaarschijnlijke looptijd van 100 jaar. Bij aandelenlease gaat het om beleggingen, aangeschaft op krediet, met een looptijd die veelal varieerde tussen 5 en 15 jaar. De maandbetaling van 155,– die Erica in haar artikel noemt is een rentebetaling. De opmerking van Nico Weezenbeek slaat de spijker op de kop. Beleggen met geleend geld tegen een rente die varieerde (afhankelijk van de bank of product) tussen de 8 en 15% per jaar, levert een praktisch kansloos beleggingsproduct op. De aanbiedende banken moeten dit geweten hebben. Ik vind de aandelenlease-affaire een vroege voorloper van de kredietcrisis anno nu. In beide gevallen gaat het om financiele producten waarbij de productonwikkelende bank er (volstrekt) ten onrechte van uitgaat dat de onderliggende waarde (huizen bij de hypothecaire geldleningen in de VS en aandelen bij de leaseproducten in Nederland) slechts in waarde zal stijgen (sic). Doordat de onderliggende waarde vervolgens daalt, werden eerst in NL vele honderdduizenden met grote verliezen en zelfs een restschuld opgezadeld. Zes jaar later gebeurt- op veel grotere schaal- hetzelfde in de VS en wordt een financiele crisis van ongekende proporties gecreerd door de banken.

popi op 25 May 2009 om 08:58 Antwoord

Wat een heerlijke discussie. Als niet mathematisch geschoolde kan ik er, geloof ik, uit afleiden dat de koele kansberekening hier de grote samengesteld interest killer is. Die 130 euro is inderdaad niet de verwachte, maar de meest waarschijnlijke uitkomst. Immers, wanneer ik het juist heb wordt bijvoorbeeld al het verlies van de voorgaande 96 jaar ongedaan gemaakt wanneer de laatste 4 van de 100 jaren achter elkaar winst zouden bieden. Andersom geldt natuurlijk hetzelfde. Kortom: hoe ziet de Gausskromme er in dit geval uit? Dit is een uitdaging aan de mathematici hier. Zelf mis ik er de kennis voor. En waar zitten de grenswaarden waarbij winst weer waarschijnlijker wordt? 65% winst / 35% verlies? Vragen vragen… Praktischer voor een gemiddelde consument als ik is misschien om deze berekening eens met op historische conjunctuurverloop gebaseerde winst- en verliesverwachtingen los te laten op bijvoorbeeld lijfrentes. De formule daarvan bij maandelijkse inleg biedt ook al zo’n heerlijke breinkraker. Met zo’n kansberekening voor zijn neus kan iedereen zien welk risico hij vermoedelijk loopt. Dan bieden resultaten uit het verleden geen garanties, maar wel realistische verwachtingen voor de toekomst.

Maarten op 25 May 2009 om 10:10 Antwoord

Na lezing van de reacties van Ton Timman en anderen moet ik toegeven dat ik de begrippen verwachtingswaarde (interessant wanneer je iets wil weten over de te verwachten “gemiddelde” uitkomst bij het vele malen herhalen van een experiment) en waarschijnlijkste waarde door elkaar gehaald heb.
Dit komt omdat in sommige gevallen de uitkomsten van beide begrippen aan elkaar gelijk zijn.
Een voorbeeld hiervan is het experiment met het 2x werpen van een normale dobbelsteen waarbij we de som der ogen in ogenschouw nemen. In dit experiment zijn er 36 mogelijke uitkomsten. Eenvoudig kan worden ingezien dat zowel de verwachtingswaarde (som van alle mogelijke uitkomsten vermenigvuldigd met hun individuele kans) als de waarschijnlijkste waarde (de uitkomst die het meest voorkomt) gelijk zijn aan 7 (ogen). De kans op deze meest waarschijnlijke waarde is 6/36.
In zijn algemeenheid geldt dat verwachtingswaarde en waarschijnlijkste waarde niet aan elkaar gelijk zijn.
Als voorbeeld hiervan dient hetzelfde experiment met het 2x maal werpen van een dobbelsteen waarbij we nu de vermenigvuldiging der ogen bekijken. Ook hier zijn weer 36 mogelijke uitkomsten. De verwachtingswaarde is nu 12.25 en er zijn in dit geval 2 meest waarschijnlijke uitkomsten, nl. 6 en 12, die ieder een kans hebben van 4/36.
Nog een opmerking: In het voorbeeld van John Allen Paulos zouden verwachtingswaarde en meest waarschijnlijke waarde aan elkaar gelijk zijn geweest als het produkt van verlies en rendement gelijk aan 1 wordt gesteld, bijv. 0.8 (-20%) en 1.25 (+25%). In dat geval zou men na 100 jaar nog steeds een bedrag van 1000 euro in handen hebben.
Inderdaad een voor mij leerzaam gedachtenexperiment van Paulos waaruit blijkt dat het hoogstwaarschijnlijk is dat er slechts 130 euro overblijft.. lezers bedankt!

Robert Endert op 25 May 2009 om 10:33 Antwoord

Ik mis in deze column de meest gevleugelde uitspraak over statistiek: ‘There are lies, damned lies and statistics’. Ondanks dat iedereen de uitspraak kent, en ervan op de hoogte is dat je met de ‘goede’ statistiek altijd de gewenste uitkomst kan krijgen, trapt iedereen er keer op keer weer in.

martin op 25 May 2009 om 10:45 Antwoord

@Maarten,
Het voorbeeld dat je noemt, een lijfrente-verzekering (althans de beleggingsvariant), brengt dit punt midden in de hele woekerpolis-affaire debat. Ja, die affaire loopt ook……naast de aandelenlease-affaire. Bij woekerpolissen gaat het dan niet alleen om het verwachte resultaat van de beleggingscomponent, maar méér nog om de verborgen kosten die aan de premie worden onttrokken. En dat maakt de hele rekenexercitie lastig, want verborgen kosten zijn per definitie niet-zichtbaar. Ik denk dat er flink wat overeenkomsten zijn tussen de wijze van misleiding bij aandelenlease en bij woekerpolissen. Worden de verborgen kosten -veelal een procent of 30/40 van de nominale premiebetaling- dan valt ook bij woekerpolissen (beleggingsverzekeringen) vermoedelijk een gelijke conclusie te trekken als bij aandelenlease: het zijn in wezen KANSLOZE.
beleggingsproducten. Bij aandelenlease zijn de deelnemer niet in staat de rentekosten goed te maken met de belegging. Bij woekerpolissen zijn het de verborgen kosten die hier voor zorgen.

popi op 25 May 2009 om 10:47 Antwoord

Kortom:
Er staan dus 2 fouten in het artikel.
1. Er wordt beweerd dat de verwachte eindwaarde bedraagt: 1000×1,6^50×0,6^50=130 euro.
Dat is echter niet de verwachte (eind)waarde maar de modale eindwaarde (de modus dus).
De modus is immers de eindwaarde die het meeste voorkomt;
zo komt 1000×1,6^100 komt éénmaal voor;
1000×1,6^99×0,6^1 komt honderd keer voor, etc.;
1000×1,6^51×0,6^49 komt 0,9891×10^29 keer voor;
1000×1,6^50×0,6^50≈130 komt 1,0089×10^29 keer voor;
1000×1,6^49×0,65^1 komt 0,9891×10^29 keer voor, etc.;
1000×0,4^100 komt éénmaal voor.
De verwachte waarde wordt echter bepaald door de som te nemen van elke mogelijke uitkomsten vermenigvuldigd met de kans op die uitkomst (zie de definitie aan het eind van het artikel). Als je dat zou doen dan komt er 1000×1,1^100≈13780612 euro uit.
De reden dat deze verwachte waarde zo veel hoger is dan de modus, komt door het feit dat als je een grafiek zou maken van alle mogelijke uitkomsten, deze grafiek sterk scheef naar rechts is. De grafiek is immers naar links begrensd door 0 (nl. 1000×0,6^100≈0,00 euro), terwijl de hoogste waarde zeer extreem groot is (nl. 1000×1,6^100≈2,6×10^23 euro).
- Op het eind staat dat de verwachte gemiddelde schade-uitkering 130 euro bedraagt; deze 130 euro is echter de verwachte gemiddelde (het woord ‘gemiddelde’ kan hier worden gemist) uitkering PER verzekerde.
De gemiddelde schade-uitkering ZONDERMEER is echter:
(10×400000+100×50000+20002000)/2110=6161 euro

Barry op 25 May 2009 om 12:15 Antwoord

@Barry. Akkoord. En bedankt voor deze geweldig heldere uitleg! Ik zal het volgende wijzigen: “de verwachte eindwaarde” wijzig ik in “de meest waarschijnlijke eindwaarde” en “verwachte gemiddelde…” (aan het einde) wordt “verwachte…”.

Erica Verdegaal op 25 May 2009 om 12:36 Antwoord

@Barry,
Ik zou het geen ”fouten” willen noemen. Eerder niet helemaal to-the-point gebrachte voorbeelden ter onderbouwing van de stelling in het artikel. Het hoofdstuk uit het boek van John Allen Paulos is pinpoint correct en de strekking ervan zou veel particuliere beleggers tot nadenken moeten stemmen. Het voorbeeld van 100-jarige belegging in een aandeel toont aan dat wiskundig verwachte (eind)waarde sterk uiteenloopt met de meest waarschijnlijke eindwaarde. Bij aandelenlease ligt de zaak in dier voege anders doordat het om beleggingen met een kortere looptijd gaat, maar anderzijds de financieringskosten door middel van de belegging eerst terugverdiend moeten te worden (Break Even Rendement excl. Oportunity Costs).Een vrijwel steeds kansloze exercitie. Het voorbeeld van de schade-uitkering bij een verzekering in het artikel van E. Verdegaal vind ik slechts relevant voorzover het aantoont dat financiele instellingen zelf de rekenkunde machtig zijn, maar er toch geen probleem in zien hun klanten op het verkeerde been te zetten met misleidende prognoses op basis van onduidelijke gemiddelden.

popi op 25 May 2009 om 12:56 Antwoord

Wat mij onwaarschijnlijk lijkt aan het artikel is het (historische) gedrag van dit aandeel. Ik begrijp dat het voor de duidelijkheid goed is om wat vereenvoudigingen te maken, maar ik kan geen aandeel noemen dat ieder jaar 50% kans heeft 60% te stijgen en 50% kans heeft 40% te dalen. Dit is uiteraard een continue verdeling.
Een tweede opmerkelijk punt is dat dit aandeel een meest verwachte waarde heeft van minder dan 100%. Oftewel, de kans dat dit aandeel na 100 jaar minder waard is dan nu, is erg groot. Volgens mij -ik ben geen beleggingsspecialist- stijgen aandelen gemiddeld zo’n 5-10% per jaar. Meer dan de rente, omdat er ook een risico aan zit. Mijn probleem met het voorbeeld is dat hier dus een nogal onrealistisch aandeel wordt besproken, terwijl het wel wordt betrokken op de zeer realistische malaise die de gedupeerden ondervinden.
Wil je werkelijk een punt maken tegenover schimmige financiele adviseurs, dan zul je met realistische aandelen moeten werken.
Want op zich is volgens mij geld lenen (tegen 6%) en er aandelen voor kopen (die gemiddeld 8% stijgen) nog steeds een goede investering. Administratiekosten voor de duidelijkheid maar even weggelaten.
De crux van het verhaal zit er dan in hoe je de gemiddelde waardestijging van aandelen bepaald, en of je alle risico’s hieromtrent hebt meegewogen.

Diederick van Zanten op 25 May 2009 om 13:32 Antwoord

Bij het kopje “Rekenkundig genmiddelde” zegt schrijfster dat dit gemiddelde geschikt is voor het berekenen van een gemiddeld rendement. Dat is, zoals ze zelf in de tekst daarvoor aantoont, onjuist. Een geschikt gemiddelde is juist het “meetkundig gemiddelde”. (Helaas ontbreken hier de tekstbewerkersmogelijkheden om dit toe te lichten.)
Verder nog een opmerking over de “verwachtingswaarde”: de verwachtingswaarde van het aantal ogen bij het gooien met één dobbelsteen is 3½. Voor iedereen is wel duidelijk dat de kans dat je dit aantal ogen gooit 0 is.

Pieter P op 25 May 2009 om 14:02 Antwoord

De kans dat het aandeel in willekeurige volgorde precies 50 van de 100 jaar met 60% stijgt en dus ook 50 jaar met 40% daalt (50/50 combinatie) is 7,96%, groter dan welke andere combinatie tussen 0/100 en 100/0 ook. (binomiale verdeling). In die zin is 130 euro dus de meest waarschijnlijke waarde ofwel de modus.
Echter, de kans op een combinatie die afwijkt van 50/50 (100 – 7,96 =) 92,04%, en dat maakt een einduitkomst van 130 euro weer niet erg waarschijnlijk.
Terecht wordt in #10 opgemerkt: “Daaruit kun je opmaken dat de kans dat je na die honderd jaar op winst staat kleiner is dan de kans dat je op verlies staat.”
Dat klopt: maar al bij de combinatie 53/47 is er sprake van winst: de waarde van het aandeel wordt dan berekend op(1000*1,6^53*0,6^53 =) 2463 euro. (De kans op die waarde van 2463 euro is nog altijd 6,66%!)
In 52 van de 100 gevallen (ofwel 52%) is er dus sprake van verlies, en maar in 48% van winst.
De crux is echter dat het maximale verlies (dat zich zou voordoen bij een 0/100 combinatie, met de kans daarop 7,89*10^-31) beperkt blijft tot 1000 euro, terwijl de maximale winst (bij een 100/0 combinatie, kans daarop eveneens 7,89*10^-31) het astronomische bedrag van 2,58*10^20 (-1000) euro zou zijn.
Voor elke verschuiving in de verhouding met 1 eenheid gaat de waarde van het aandeel immers met een factor 1,6/0,6 = 2,67 omhoog. (Check: 2463/2,67^3 = 130).
Met andere woorden: weliswaar heb je 52% kans op verlies, maar dat verlies kan nooit meer zijn dan 1000 euro. Daar staat tegenover 48% kans op winst van tenminste 1463 euro, die echter ook zeer veel hoger kan uitpakken!
De verwachtingswaarde van die winst, de som van de produkten van kans en uitkomst, wordt geheel juist berekend op (1000*(0,5*1,6 + 0,5*0,6)^100 =) 13.780.612 (-1000) euro.
Hoewel ik ook een diep geworteld wantrouwen heb tegen aanbieders van beleggingsprodukten moet ik het in dit geval eens zijn met hun berekening van de verwachtingswaarde. Mijn wantrouwen richt zich veeleer op de voorgespiegelde rendementen en op de looptijd.

Maarten Vrijland op 25 May 2009 om 14:26 Antwoord

@Diederick van Zanten. De beleggingsindustrie draagt het onjuiste idee uit dat, als je maar geduld hebt, aandelen een hoger rendement opleveren dan elke andere beleggingscategorie. Zou dat waar zijn, dan zou je, mits je maar jaren geduld hebt, extra rendement kunnen halen bij een laag risico. Maar gratis geld bestaat niet. Elke econoom weet dat.

Een risico heeft twee dimensies. Ten eerste heeft een risico een bepaalde omvang: je loopt bijvoorbeeld de kans dat je belegging maximaal 25% in waarde zakt. Ten tweede heeft een risico een bepaalde waarschijnlijkheid: iets gebeurt bijvoorbeeld één keer in de tien jaar. Je ziet dat schadeverzekeraars wél rekening houden met deze beide dimensies en een reserve aanhouden die is gebaseerd op een worst case scenario. De prijs van je brandverzekering is daarop gebaseerd. Aanbieders van beleggingsproducten brengen echter alleen de eerste dimensie van risico over het voetlicht. Het lijkt dan of beleggen veilig is, als je de beleggingen maar lang genoeg aanhoudt. Dat is een gevaarlijke denkfout. De lange termijn biedt weliswaar meer kansen om van beleggingsverliezen te herstellen, maar ook meer kansen op één desastreuze koersdaling. Zoiets gebeurde vanaf 2001 en in 2008.

Erica Verdegaal op 25 May 2009 om 15:00 Antwoord

Beste Erica,
Het is op zichzelf genomen best mogelijk met een aandelenbelegging een beter rendement te behalen dan met andere beleggingscategorieen (obligaties, depositos e.d.), maar je zult je dan wel als actieve belegger moeten opstellen door de profiteren van de opwaartse marktfluctuaties. Anders gezegd, tijdig winst moeten ”pakken”. Bij aandelenlease was dit om tenminste drie redenen een stuk lastiger.
1) het betrof een belegging met een vaste looptijd (waarbij per definitie de einddatum wel eens zeer ongunstig kan uitpakken (midden in een baisse), hetgeen ook gebeurd is);
2) De rentekosten. Een kind kan op zich wel becijferen/aanvoelen dat wanneer het -pak hem beet- 10% rente over de hoofdsom van de lening moet betalen, het maken van winst op de met de lening aangschafte aandelen vrijwel zeker een ”mission impossible” wordt. Het punt is echter dat de rentebetaling in leasefolders (ik heb destijds enkele folders uit mijn brievenbus doorgespit !) soms verhullend werd aangeduid met de term ”maandbetaling” of (zelf) met ”inleg” en niet met de benaming ”rente”.
3) Bij veel leaseproducten (niet alle !) werd het dividenddeel van het totaalrendement niet aan de leasebelegger uitgekeerd (dit stak de leasebank in eigen zaak). Daarmee derfde de deelnemer al snel 1/5 tot een kwart van het te behalen totaalrendement op de onderliggende aandelen. Een bijkomende factor derhalve leidend tot de conclusie dat het vrijwel kansloze producten betreft/betrof.
Dat de rechtsstrijd tussen leasedeelnemers en leasebanken een slepende strijd is geworden valt te betreuren, maar was ook wel te verwachten. In hun grenzeloze arrogantie zullen banken klagende klanten die het waagt de bank te dagvaarden altijd proberen ”kapot te procederen”. Misschien is de aandelenlease-affaire de eerste keer dat de banken de deksel op de neus krijgen.

In aanvulling op je bovenstaande #34 nog:
-bij schadeverzekeringen (wel rekenen van worst case scenario) gaat het om het risico van verzekeraars zelf (hun winstpotentie);
-bij belegginsproducten (geen worst case scenaria) gaat het om risico dat op het bord van de beleggers ligt (afgezien van schadeclaims achteraf !).
Financiele instellingen stellen hun eigen belangen voorop (meten met twee maten) en dat lijkt mij -op zichzelf- reeds een schending van hun zorgplicht.

popi op 25 May 2009 om 16:06 Antwoord

Uit alle reacties blijkt wel dat het onoverzichtelijk is en dat je een grote gok neemt als je er in stapt. Terwijl als je die 1000 euro voor 100 jaar vast zet(=voorbeeld waar we het over hebben) tegen 5% rente op een simpele spaarrekening dan heb je na 100 jaar voor 100% zeker: 131501,30.

Om dus helemaal eerlijk te zijn zou je moeten berekenen hoe groot de kans is dat je na 100 jaar meer dan die 131501,30 euro uit gekeerd krijgt. Anders is gewoon sparen (en voor één jaar vast zetten heb ik al 5% gekregen bij de postbank (actie afgelopen december), dus voor 100 jaar kun je zeker zo’n deal krijgen)sowieso een betere optie.

De kans dat je idd meer dan de 131501,30 krijgt lijkt me redelijk klein en de vraag is dan of je dat risico wilt lopen…

Alchemist op 25 May 2009 om 23:36 Antwoord

Ik ben benieuwd of de kop bij dit artikel ”De misrekenende rechter” bij deze beroepsgroep (rechters) niet in het verkeerde keelgaat schiet. Ik vrees een beetje van wel. De eerste rechter die blij is met (opbouwende) kritiek op zijn functioneren moet ik nog tegen komen. In civiele rechtzaken zal een rechter zich overigens vrijwel altijd achter zijn lijdelijkheid kunnen verschuilen. De burger denkt dat rechters ambtshalve verder kijken dan hun ‘neus lang is”, de praktijk is echter veelal dat de rechter alleen de rechtsvragen beoordeelt die aan hem worden voorgelegd. Een soort ”oogkleppenop gedrag” a la Manuel (I know nothing) uit Falty Towers, maar dit laatste is wellicht weer onwenselijk kritisch geoordeeld.

nico weezenbeek op 26 May 2009 om 07:36 Antwoord

Alchemist vraagt zich af (#36) hoe groot de kans is dat er je meer dan 131501,30 overhoudt. Deze kans is circa 43%, dus niet zo klein!
Of je bereid bent dat risico te lopen is een persoonlijke keuze.

Ruud van der Ham op 26 May 2009 om 13:41 Antwoord

Ton Timman verwijt mevr. Verdegaal enige pedantrie in #15 en wijst er op dat de meerderheid van de Nederland uit common sense of gezond wantrouwen geen aandelenleasecontracten sloot. Er zijn, denk ik, nog wel honderd andere redenen te verzinnen waarom de meerderheid (toevallig) geen leasecontract afsloot (met vakantie; geen geld te besteden; nooit aan hen aangeboden etc.etc.)waar door de marktpenetratie geen 100% was. Met woekerpolissen (circa 7 miljoen afgesloten polissen; marktpenetratie circa 85% van NL huishoudens) hebben financiele instellingen hun fout blijkbaar behoorlijk rechtgezet. Misschien toch maar even op de kastplank kijken, Ton ?

popi op 26 May 2009 om 15:18 Antwoord

@25 Robert Endert,

Dank, maar u bent te bescheiden: uw bijdrage @1 klopt helemaal. Zelf zat ik ook te houten. Ik had een pinnege reactie naar de gastvrouwe van dit weblog, Erica, verstuurd en een uurtje later realiseerde ik mij dat ik modus en mediaan door elkaar had gehaald; gênant, gelukkig kun je het niet zien in mijn reacties.

Ton Timman op 26 May 2009 om 20:31 Antwoord

Ach, misschien moeten de twijfelaars gewoon even een goede boekwinkel of openbare bibliotheek binnenstappen. In het boek ”De gecijferde mens” staat het voorbeeld in het hoofdstuk op de pagina’s 96-99.

nico weezenbeek op 26 May 2009 om 21:05 Antwoord

@ popi jopi:

Op de kastplank kijken? Denkt u echt dat ik ooit een ‘woekerpolis’ heb afgesloten? Ik ben toch niet gek!
Wel heb ik begin jaren negentig folders, offertes en contracten bekeken (dat laatste van kennissen die ik met de belastingaangifte hielp).
Je kon gewoon zien dat je verneukt werd. Een keertje heb ik zelfs de Verzekeringskamer gebeld. Het ging om een kapitaalverzekering waarbij je minimaal 4% zou krijgen. Echter, als je maandtermijn en uitkering ingaf op de zakjapanner, bleek het maar 1 1/2% te zijn. De meneer van de Verzekeringskamer was niet onder de indruk. Je wist toch wat je kreeg als consument? Bovendien waren ze er helmaal niet voor de consument. Zij zagen er alleen op toe dat een verzekeraar aan zijn verplichtingen zou kunnen voldoen.
Zorgplicht? Daar had nog niemand van gehoord.

Ton Timman op 26 May 2009 om 21:08 Antwoord

Het artikel cq de weblog van Mevr. Verdegaal heeft deze week nog een aardige discussie losgeweekt. Ik sluit mijn bijdragen af met twee citaten van Richard Dawkins uit zijn boek ”Een regenboog ontrafelen, over wetenschap, waanideeen en wonderen”

1) “Een minimale toest die elke fatsoenlijke methode van waarzeggen of voorspellen behoort te kunnen doorstaan is die van betrouwbaarheid” (Het lijkt mij dat aanbieders van woekerpolissen en aandelenlease niet aan die voorwaarden voldeden)

2) ”Het feit dat we ons nog altijd verbazen op de momenten dat we ons verbazen, en dat helderzienden, mediums en paragnosten, astrologen zo goed aan ons weten te verdienen, wijst erop dat we over het algemeen niet leren onszelf anders af te stellen. Het wijst er op dat de hersendelen die verantwoordelijk zijn voor het uitvoeren van intuitieve statistiek nog in het stenen tijdperk verkeren” (Aan de bovengenoemde beroepsgroepen mediums en paragnosten enz., mag men financiele charlatans uit bank- en verzekeringsbranche toevoegen).

nico weezenbeek op 27 May 2009 om 07:12 Antwoord

@ Ton Timman #15
Eindelijk had ik een goedbetaalde baan. Dus besloot ik nog een jaar als student te leven en het verschil in uitgaven en inkomsten braaf in mijn pensioen te stoppen. Dit om het gapende pensioengat te vullen dat was ontstaan na jaren van leuk en dus slecht betaald werk.
Dus nodig je “een specialist” uit om het door te rekenen. En begin deze eeuw kwam daar uiteraard een aandelenlease uit. Doch zoals in de posts hierboven al werd aangestipt: ergens kriebelt het dat de rendementen waarschijnlijk te mooi zijn om waar te zijn.

Uiteindelijk besloot ik niet in te stappen vanwege een zeer onwetenschappelijke reden: de adviseur had een roomwit pak aan, met roomwitte schoenen en reed weg in een Alfa-Romeo. Iemand die zijn geld in zulke kwetsbare goeden steekt vertrouwde ik mijn toekomst niet toe.

Als consument sta je niet tegenover het kale voorstel van een beleggingsproduct, je staat tegenover een batterij PR-, marketing en financieel specialisten. Geen gelijke strijd!

Geert-Jan op 27 May 2009 om 07:13 Antwoord

Dit was een verdraaid interessante column van Erica Verdigaal die laat zien hoe gevaarlijk en misleidend het kan zijn om in situaties van onzekerheid met gemiddeldes te werken. De niet-wiskundig geschoolde lezer kan ook een schitterende verhandeling op het gebied van beleggingen vinden in het artikel van de Amerikaanse kansrekenaar Sam Savage in een Amerikaanse krant, zie http://www.stanford.edu/~savag.....0Index.htm (met daarbij de quote om je niet te denken dat je als niet-zwemmer veilig op elk punt in een meer dat gemiddeld 30 cm diep is in het water kan stappen).

Wat het voorbeeld van John Allen Paulos betreft, de volgende opmerkingen naar enigzins wiskundig geschoolde lezers. In het extreme voorbeeld van een fonds situatie waarin elk jaar je ingelegde kapitaal verdubbelt met een kans van 95% en in zijn geheel verloren gaat ook met een kans van 5%, zie je direct in dat je nooit elk jaar je TOTALE kapitaal in het fonds moet stoppen, hoewel de verwachte winst in een jaar 75% is per ingelegde euro. Op grond van de wet van de grote aantallen is het direct duidelijk dat met een kans van vrijwel gelijk aan 100% (precies: een kans van 99.4%) je ergens gedurende die 100 jaar al je geld verspeelt. Bij het voorbeeld van Paulos is het niet direct vanzelfsprekend dat je nooit al je geld tegelijk moet beleggen ook al is de winstverwachting voor elk jaar positief. In dit soort situaties is een zogenoemde Kelly strategie optimaal: onder deze strategie beleg je elk jaar een vaste fractie van je kapitaal in het fonds. In het voorbeeld van een 60% stijging met kans 0.5 en 40% daling anders, is het optimaal om elk jaar een fractie 5/12 van je huidige kapitaal in het fonds te beleggen en de rest in een oude kous te stoppen (ingeval je geen rente kunt krijgen). Bij de strategie om elk jaar je totale kapitaal in het fond te steken is de kans om na 100 jaar met 130 of minder euro te eindigen ongeveer 50%, bij de Kelly strategie is deze kans niet meer dan 1.5% en heb je een kans van 87% om niet op je startkapitaal van 1000 euro te verliezen ( met een kans van ongeveer 62% is je kapitaal na 100 jaar meer dan 5 maal zo groot en met een kans van ongeveer 46% meer dan 10 keer zo groot wanneer je de Kelly strategie volgt). De Kelly strategie wordt uitgebreid besproken in het leuke boekje Spelen met Kansen door professor Henk Tijms, een populair-wetenschappelijk boekje dat enkele jaren terug bij uitgeverij Epsilon verschenen is. De Kelly strategie is ook onderdeel van het boek Fortune’s formula van William Poundstone.

Hans op 27 May 2009 om 15:37 Antwoord

Bedankt Hans! Heel interessant. Ik ga er beslist meer over lezen.

Erica Verdegaal op 27 May 2009 om 19:31 Antwoord

Hans suggereert in zijn bijdrage dat de zogenaamde Kelly strategie optimaal is. Maar wat is optimaal?
Als je optimaal vind dat de verwachtingswaarde zo hoog mogelijk, dan voldoet Kelly zeker niet.
En als je optimaal vind dat je nooit met minder mag eindigen, dan kan je beter alles in de spreekwoordelijke oude sok stoppen.
Kortom: alles hangt af van het begrip optimaal, door economen ook vaak uitgedrukt in het begrip utility.

Ruud van der Ham op 28 May 2009 om 06:27 Antwoord

Ruud je hebt gelijk als je stelt dat je criterium voor optimaliteit bepalend is welke strategie optimaal is. De Kelly strategie is optimaal voor het geval dat je de groeivoet van je kapitaal over een lange periode wil maximaliseren. Maar Ruud laten we niet afdwalen: de kern van de weer uiterst leerzame column van Erica Verdegaal was dat het heel evaarlijk en misleidend kan zijn om in situaties van onzekerheid met gemiddeldes te werken, nogmaals noem ik het artikel http://www.stanford.edu/~savag.....erages.pdf in de San Jose Mercury News. Een artikel dat ook verwerkt is in het boekje Spelen met Kansen dat ik mijn bijdrage noemde.

Hans op 28 May 2009 om 07:54 Antwoord

De absurd hoge verwachtingswaarde van 13780612 is niet het gevolg van een rekenfout maar van het feit dat daarbij rekening gehouden is met zeer kleine kansen op onmogelijk hoge uitkomsten. nemen we aan dat de hoogst mogelijke eindwaarde van het aandeel 100 miljoen is (bijvoorbeeld omdat de waarde van de onderneming anders groter zou worden dan het totale wereldvermogen) dan is de verwachte waarde 626737. Bij een maximale eindwaarde van 1 miljoen wordt de verwachte waarde 56972, dat is evenveel als bij sparen met een rente van 4,125%. Mag de waarde van het aandeel ook tussentijds niet boven een miljoen komen dan is de verwachte eindwaarde ongeveer 35000. Dit is echter lastiger te berekenen, ik heb het met simulatie gedaan.
Er is ook een eenvoudig en actueel voorbeeld te geven waarbij juist de modale uitkomst misleidend is: spaarbank A geeft 3% rente met volledige zekerheid, spaarbank B geeft 6% rente, maar je hebt 5% kans dat je al geld kwijt bent. De verwachtingswaarde is voor A 3% en voor B 0,7%, de modale waarde 3% voor A en 6% voor B

Rommert J. Casimir op 28 May 2009 om 09:53 Antwoord

Het verschijnsel dat hier wordt geillustreed staat in de beleggingsliteratuur ook wel bekend onder de kreet ‘volatility eats (of erodes) return’.
De maatstaven die nodig zijn om dit verschijnsel te begrijpen zijn het meetkundige gemiddelde (probeer het maar een met +10%, -10%, +10% en -10% en je zult zien dat het rekenkundige gemiddeld niet de juiste maatstaf is) en de standaarddeviatie.

Jan Willem van Holst op 28 May 2009 om 13:30 Antwoord

Newer Comments »

Laat een reactie achter

Reacties die voor andere bezoekers informatief of vermakelijk zijn, maken het nextblog interessanter en levendiger. Schroom dus niet om jouw goed onderbouwde mening te delen of aanvullende informatie te geven. Als je reageert, vragen we je naam en e-mailadres op te geven. Je eerste reactie wordt vooraf gemodereerd op basis van de spelregels. Als die is goedgekeurd, kun je voortaan direct reageren. Je reactie kan in de krant gebruikt worden.

Ook een avatar bij je reactie? Upload je foto op gravatar.com

Trackbacks naar deze post

Wiskundemeisjes » Blog Archive » Rekenen met geld (4 June 2009, 10:32 am)