Aandelenlease-gedupeerden staan april vorig jaar te wachten op het openen van deuren van de informatiedag van Platform Aandelen Lease en Leaseproces. Foto Rob Huibers
De doorsnee mens loopt weg voor cijfers, wiskunde en statistiek. Ons land telt zelfs honderdduizenden cijferblinden. Dat zijn normaal intelligente mensen die, door een hersendefect, cijfers en telwoorden niet kunnen interpreteren. Ze verwarren 91 met 19 en kunnen geen wisselgeld natellen. Een beleggingsaanbieding beoordelen is voor hen even onmogelijk als machtsverheffen voor een baby.
In een land van blinden en bijzienden zijn de eenogen koning. Dat waren, tussen 1991 en 2002 de pakweg tien instellingen die samen een miljoen aandelenleaseproducten verkochten. Deze combinaties van beleggen en lenen leken aanvankelijk fantastisch.
Wie maandelijks 155 gulden stortte, kon, volgens de folder, na vijftien jaar bijvoorbeeld 172.000 gulden incasseren. „Vier keer zoveel als bij sparen!” Na 2001 sloegen deze gouden bergen, mede door een beursdip, vaak om in schulden. De schade beliep soms wel 100.000 euro per belegger.
Een uitzending van Radar over aandelenlease (3 oktober 2007)
Slepende rechtszaken
Sindsdien slepen er rechtszaken over aandelenlease. Op 5 juni aanstaande bereikt dit drama een climax: voor het eerst zal de Hoge Raad beoordelen of leaseaanbieders hebben misleid of de zorgplicht hebben geschonden. Krijgen gedupeerden eindelijk gelijk? Je houdt je hart vast als je de wetenschappelijke bundel De rekenende rechter leest. Universitair docent M.J. Borgers schrijft hierin onheilspellend:
„Rechters worden in toenemende mate geconfronteerd met cijfermatige kwesties waar ze in het gunstigste geval iets van afweten, maar vaak ook niets.”
Hoe zwaar je met rendementsvoorspellingen de mist in kan gaan, toont de Amerikaanse wiskundehoogleraar John Allen Paulos in zijn boek De gecijferde mens. Een vader koopt beursaandeel Z voor 1.000 euro. Zijn nazaten mogen Z na een eeuw verkopen. Uit het verleden weet vader dat Z jaarlijks evenveel kans heeft op 60 procent koerswinst als op 40 procent koersdaling. Wat is de meest waarschijnlijke waarde over honderd jaar?
Rekensom
Aanbieders van lease- en andere beleggingsproducten pakken deze rekensom steevast zo aan. Eerst becijfert men de verwachte koersstijging in één jaar. Voor Z is dat het gemiddelde van +60 procent en -40 procent. Dus 10 procent. Deze 10 procent projecteert men op de komende eeuw. En als je jaarlijks 10 procent winst boekt, groeit 1.000 euro na een eeuw tot het astronomische bedrag van 13.780.612 euro.
Deze berekening is fout. In het meest waarschijnlijke geval zal aandeel Z namelijk vijftig van de honderd jaren 60 procent stijgen en vijftig van de honderd jaren 40 procent dalen. Dat brengt de meest waarschijnlijke eindwaarde, in dit geval, op €1.000 × (1,6 ^ 50) × ( 0,6 ^ 50 ). En dat is helaas… maar 130 euro. Juist verzekeraars, vaak de verkopers van aandelenleaseplannen, begrijpen dit als geen ander. Hun verzekeringswiskundigen schatten immers voortdurend de uitkeringen die men in de toekomst moet gaan doen? Dus rechter en consument, laat je niet misleiden.
Kennis van de volgende drie maatstaven is handig.
1. Rekenkundig gemiddelde
Het (rekenkundig) gemiddelde van een reeks cijfers is de som van die cijfers gedeeld door het aantal getallen. Deze maatstaf is geschikt voor het berekenen van gemiddelde jaarlijkse rendementen uit het verleden, maar zegt helemaal niets over de toekomst.
2. Modus
De modus is een getal of bedrag dat het vaakste voorkomt. De term modaal inkomen is daarom de inkomenshoogte die het meeste voorkomt. Dit jaar is dat, inclusief vakantietoeslag, ongeveer 32.000 euro. Het modale inkomen kan veelzeggender zijn dan het gemiddelde salaris. Want stel 100 mensen verdienen elk 300 euro en 3 mensen elk 3 miljoen euro. Dan verdient men gemiddeld 87.669 euro, terwijl het modale inkomen op 300 euro ligt.
3. Verwachte waarde
De verwachte waarde van iets wordt vaak bepaald door de som te nemen van elke mogelijke uitkomst vermenigvuldigd met de kans op die uitkomst. Stel een verzekeraar weet uit ervaring dat jaarlijks een op de 10.000 verzekerden 400.000 euro schade claimt, een op de 1.000 claimt 50.000 euro, en een op de vijftig claimt 2.000 euro. De verwachte schade-uitkering bedraagt dan: (400.000: 10.000) + (50.000: 1.000) + (2.000: 50) = 130 euro.
In de zaterdagbijlage van 30 Mei is een brief geplaatst van de heer Klein Haneveld betreffende het vraagstuk rondom de verwachte waarde van beursaandeel Z (zie het artikel van Erica Verdegaal hierboven). Inmiddels is het iedereen wel duidelijk dat er een verschil is tussen de verwachte waarde (13.780.612 euro) en de meest waarschijnlijke waarde (130 euro) na 100 jaar.
De hamvraag is nu welke van deze 2 waarden relevant is voor de individuele belegger. Volgens mij is dit de meest waarschijnlijke waarde, aangezien het experiment slechts 1 maal uitgevoerd wordt.
De verwachte waarde (som van de producten van alle mogelijke uitkomsten en hun individuele kansen) is hier niet relevant, omdat deze een uitspraak doet over de te verwachten gemiddelde uitkomst bij het doen van een zeer groot aantal identieke experimenten. Dit is in het aangehaalde voorbeeld niet het geval; de belegger heeft te maken met slechts 1 experiment, in dit geval het product van een reeks van 100 uitkomsten van groeifactoren 0.6 en 1.6.
De verwachte waarde zou relevant zijn wanneer de belegger kijkt naar de te verwachten gemiddelde uitkomst van een zeer groot aantal aandelen (ieder met elk jaar een fifty-fifty kans op groeifactor 0.6 of 1.6) waarvan de jaarlijkse resultaten onderling onafhankelijk zijn.
Zie ter verduidelijking het door mij in reaktie #25 aangehaalde voorbeeld van het 2 maal werpen met een dobbelsteen waarin gekeken wordt naar het product van de geworpen ogen. Stel dat Jaap een weddenschap met zijn vriend Arie afsluit over het correct voorspellen van dit product. Dan is het voor Jaap niet relevant om de verwachte waarde te kennen (12.25), maar de meest waarschijnlijke uitkomst (in dit voorbeeld zowel 6 als 12). Alleen wanneer hij op 6 of 12 wedt maximaliseert hij zijn kans om de weddenschap te winnen.
Kortom, voor de individuele belegger in aandeel Z, die het product van de reeks van 100 uitkomsten moet voorspellen, is de meest waarschijnlijke waarde (130 euro) relevant.
Robert Endert op 30 May 2009 om 13:10